代數作業

學校別: 課號: 英文課程名稱: 中文課程名稱: 翻譯進度: 耶魯: ASTR 160: Frontiers and Controversies in Astrophysics, Spring 2007: 天文物理的. 課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. Sign in to add this video to a playlist. Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets – 第一本關於wxWidgets的書籍。 Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets pdf – 電子書版本. Array數學之書,The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension- 250 Milestones in the History of Mathematics,作者:柯利弗德.皮寇弗,出版社:時報文化. 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式,. MOS Excel 2003 觀念題練習 MOS Excel 2003 觀念題練習. 若您具有法人身份為常態性且大量購書者,或有特殊作業需求,建議您可洽詢「企業採購 」。�

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歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. CLASSROOM Primary English Step-by-step Exercises 課室小學英文科同步綜合練習. ĸ» 題 數與計算 量與實測 幾何 代數 統計與機率 相關分年細目(97) 7-a-01能熟練符號的意義,及其代數運算。 7-a-06能. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . 有看到這個衛署健保字第84046762 號函:「勞工之加班費可不計入全民健保投保金額,基於公平原則,其適用對象,不宜排除投保金額低於 36,300 元者,另依全民健保法施行細則第四十二條規定,第一類及第二類被保險人具勞保資格者,其申報之投保金額仍不得低於其勞保之投保薪資。至其實施日期得追溯至 84年 3 月 1 日」。可是有一段不太懂,就是『不宜排除投保金額低於 36,300 元者』,那是什麼意思,我想要再問,如果一個人他底薪是17280,可是他加班費20000,那健保可以只投17280嗎. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!. Sign in to add this video to a playlist. 課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作.

ů’暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. 本頁面最後修訂於2009年1月1日 (週四) 13:29。 本站的全部文字在創用cc 姓名標示-相同方式分享 3. 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 . CLASSROOM Primary English Step-by-step Exercises 課室小學英文科同步綜合練習. 學校別: 課號: 英文課程名稱: 中文課程名稱: 翻譯進度: 耶魯: ASTR 160: Frontiers and Controversies in Astrophysics, Spring 2007: 天文物理的. 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. Ɛžç¬‘ – 抄作業在不同角度的看法 抄作業其實並不叫做抄作業 英文上叫copy 代數上叫等量交換 中文上叫借鑑 幾何上叫全等. 7/9/2012 · 北一數學暑假作業,2010/8/13 · 話說北一的暑假作業 真的. 其中 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根).

University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. More MOS Excel 2003 模擬題練習. English Language; Chinese Language; Mathematics; Liberal Studies; Introduction to Knowledge (non-examination, school. 找出下列子空间的一组基,并求出它们的维数。 (1) {(a − b, b + c, a, b + c) | a, b, c ∈ R} ⊆ V = R4;. CLASSROOM Primary English Step-by-step Exercises 課室小學英文科同步綜合練習. (2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 .

本頁面最後修訂於2009年1月1日 (週四) 13:29。 本站的全部文字在創用cc 姓名標示-相同方式分享 3. ů’暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數. 设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2. Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. 學校別: 課號: 英文課程名稱: 中文課程名稱: 翻譯進度: 耶魯: ASTR 160: Frontiers and Controversies in Astrophysics, Spring 2007: 天文物理的. Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2. 作者序
數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域,並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況,也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車,模擬地球天然資源流轉的方式,進入次原子的量子世界探索,甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中,我希望運用少量數學公式提供一點數學品味,而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言,這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元,根據美國教育部實際調查的結果顯示,能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系,都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船,探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學(topology,探索形狀與彼此間相互關係的一門學問)或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際,我們就能逃出,在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子,就以這本書裡面的莫比烏斯帶(The Mobius Strip)為例。德國數學家莫比烏斯(August Mobius)和當時另一位德國數學家利斯廷(Johann Benedict Listing)同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶(一個只有單面,神奇的扭曲物體)。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓(Isaac Newton)與德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人,在相同時間,獨立發現同一件事情的情況?其他例子還包括英國博物學家達爾文(Charles Darwin)和華萊士(Alfred Wallace)都在相同時間各別提出演化論的觀點,匈牙利數學家鮑耶(Janos Bolyai)和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由,是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現,已經累積足夠的知識,這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來;可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋,會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納(Paul Kammerer)曾表示:「或許我們可以說,儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生,但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」;卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端,彼此間看起來各自孤立,毫無瓜葛,不過根據他充滿爭議性的理論,我們其實只看到上層的波浪,卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制,詭譎地把世上各種重大事件串在一起,才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉(Georges Ifrah)在《數目溯源》(The Universal History of Numbers)一書中談論馬雅數學時,順便論及了這種同步情況:

我們因此又再一次地見證到,散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋;是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響,⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合:智人這種生物的智力具有共通性,把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代,會不會只有數目字才是唯一恆常不變的?對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言,數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴,卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關,聰穎的數學家艾狄胥(Paul Erdos)醉心於數論—有關於整數課題—的研究,他經常能輕易使用整數提出問題,儘管問題的陳述很簡單,但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話,那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之,譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦,以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克(Leopold Kronecker)曾經說過:「只有整數來自於上帝,其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來,按照整數比例演奏出的音樂,就相當受到歡迎,更重要的是,在人類理解科學的演進過程中,整數也扮演著相關關鍵的角色,像是法國化學家拉瓦節(Antoine Lavoisier)就是依照整數比調配組成化合物的元素,顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年,激態原子放射出一定整數比的光譜波長,也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量,顯示原子核是由整數個數的相似核子(質子跟中子)所組成,與整數比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體,擁有幾乎一樣的化學特性,只在中子數的個數上有所差異)的發現。

純同位素(pure isotope)原子量無法完全以整數比呈現的微小差異,確認了愛因斯坦(Albert Einstein)著名方程式 E = mc2是成立的,也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯(Carl Friedrich Gauss)的說法:「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速,但是,我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學,但是,我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明,可是,他們的論證方式非常冗長又複雜,就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯(Thomas Hales)將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》(Annals of Mathematics)期刊後,整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯,建議該期刊加以發表,可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的!另一個例子來自數學家德福林(Keith Devlin),他在《紐約時報》(New York Times)刊出的文章中承認:「數學已經進展到一個相當抽象的程度,甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾,想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重,我們只好竭盡所能,盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行,不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡(Werner Heisenberg)擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時,波耳(Niels Bohr)顯得相對樂觀。西元1920年代,波耳在一封回給海森堡的信中提到:「我認為這是有可能的,但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因,是因為我們直觀能力有限,透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見,這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能,讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前,就先看到結果,也開啟了一項全新的數學研究領域,就連試算表這種簡單的電腦工具,也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉(Leonhard Euler)、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子,西元1990年代末由貝利(David Bailey)跟佛格森(Helaman Ferguson)兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊,如同克拉瑞克(Erica Klarreich)在《科學新知》(Science News)上的報導,只要電腦能把公式先找出來,事後完成證明的工作就簡單多了,畢竟在完成數學證明的過程中,簡單地知道答案這項工作,通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象,譬如以物理學家麥斯威爾(James Clerk Maxwell)命名的麥斯威爾方程式(Maxwell equation)預測了無線電波的存在;愛因斯坦場論方程式(fields equation)指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克(Paul Dirac)曾說過,今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論,事實上,狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質(antimatter)存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話:「就算再抽象的數學分支,也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡,讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略(Galileo Galilei)曾說過:「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒(Johannes Kepler)曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體,建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納(Eugene Wigner)對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻;像是E8這種大李群(large Lie Group)—請參照條目:探索特殊E8李群的旅程(西元2007年)—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年,瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克(Max Tegmark)發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章,指出我們看到的物理實體其實都是數學結構;也就是說,我們不只可以用數學描述所處的宇宙,甚至可以說—宇宙本身就是數學。

導讀
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目,作者按照年代編寫,試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時,作者在各個條目之後,納入相關的參照條目(都本書所包含),方便讀者交叉閱讀與參引。還有,凡是條目涉及數學家等等之貢獻者,都清楚表彰姓名於條目之下,冀收見賢思齊之效!

就條目的規劃來說,除了純數學、(傳統)應用數學領域與計算機科學之外,本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題,以及一般讀者深感興趣的悖論。當然,從人類文化關懷的角度切入,作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中,所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮,譬如他對中國與日本算學發展的說明,就顯得心有餘而力不足,但是,他的用心還是值得肯定。另一方面,作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅,則充分反映二十世紀數學的飛耀發展,也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說,由於作者並非數學本科畢業,以致於他在描述近現代的數學專業知識時,手法難免比較生澀,而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下,有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解,或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗,於是,他在某些脈絡中,依賴少數幾位科普作家的觀點或評論,應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用,我要特別針對中學數學教師與學生,提出一些建議。對教師來說,本書條目有益於教學的內容,可以粗略分為兩大類:(1) 生活經驗中的趣味數學;(2) 歷史文化(含人類學面向)中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心,後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂,並藉以分享數學知識活動的趣味時,則不妨將它們包裝成為一個遊戲,讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說,本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉,十分簡單,人人都可以參與討論,但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面,教師也可利用本書條目,來組織一個教學單元,比如說初等代數發展的輪廓,讓學生在不斷演練求解方程式之餘,也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題,我推薦的條目有如下列:〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾.花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富,足以說明西方代數發展之大概,以及三、四次方程解法之意義。當然,如能補上十三世紀中國的天元術,乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路,那麼,我們對於代數思維的演化,就可以掌握全面的結構了。

總之,這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學,不過,他顯然非常聰明幹練,而且求知若渴,因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外,由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗(以每年出版一版書為準),因此,本書敘事多於論證,既凸顯了它的文類(科普)定位,也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」,我們就不必過度在意了。. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets – 第一本關於wxWidgets的書籍。 Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets pdf – 電子書版本. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1.   簡介:
  作者自師範大學畢業後,對運用現代科技來學習數學之道,即深感興趣,至今樂此不疲,尤其對於動態幾何軟體的研究,更是深愛不已。早年校園裡面,只要是提到動態幾何軟體,無非是 Geometer’s Sketchpad,不然就是 Cabri,但這些軟體所費不貲,對經費有限的校園來說,卻是一種奢侈。所幸,適時出現了 GeoGebra 這套免費的自由軟體,因此作者當然義不容辭,主動參與中文化的工作,並獲得許多同好的協助,現在讀者們所看到的中文繁體介面,就是大家努力的成果。希望透過本書的推廣,可以將這套優秀的自由軟體散播到全國每個小角落,讓全國每位老師都能善用它,並利用它來教導學生,讓學生們可以自然而然地學好「數學」這種科學語言。. 預備知識:線性代數, 矩陣運算。 參考書籍:“作業研究”, 清華大學作業研究教材編寫組 編著, 儒林圖書公司。 課程內容綱要:作業研究(Operations Research)是一種對各 .

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數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域,並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況,也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車,模擬地球天然資源流轉的方式,進入次原子的量子世界探索,甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中,我希望運用少量數學公式提供一點數學品味,而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言,這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元,根據美國教育部實際調查的結果顯示,能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系,都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船,探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學(topology,探索形狀與彼此間相互關係的一門學問)或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際,我們就能逃出,在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子,就以這本書裡面的莫比烏斯帶(The Mobius Strip)為例。德國數學家莫比烏斯(August Mobius)和當時另一位德國數學家利斯廷(Johann Benedict Listing)同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶(一個只有單面,神奇的扭曲物體)。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓(Isaac Newton)與德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人,在相同時間,獨立發現同一件事情的情況?其他例子還包括英國博物學家達爾文(Charles Darwin)和華萊士(Alfred Wallace)都在相同時間各別提出演化論的觀點,匈牙利數學家鮑耶(Janos Bolyai)和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由,是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現,已經累積足夠的知識,這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來;可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋,會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納(Paul Kammerer)曾表示:「或許我們可以說,儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生,但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」;卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端,彼此間看起來各自孤立,毫無瓜葛,不過根據他充滿爭議性的理論,我們其實只看到上層的波浪,卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制,詭譎地把世上各種重大事件串在一起,才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉(Georges Ifrah)在《數目溯源》(The Universal History of Numbers)一書中談論馬雅數學時,順便論及了這種同步情況:

我們因此又再一次地見證到,散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋;是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響,⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合:智人這種生物的智力具有共通性,把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代,會不會只有數目字才是唯一恆常不變的?對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言,數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴,卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關,聰穎的數學家艾狄胥(Paul Erdos)醉心於數論—有關於整數課題—的研究,他經常能輕易使用整數提出問題,儘管問題的陳述很簡單,但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話,那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之,譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦,以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克(Leopold Kronecker)曾經說過:「只有整數來自於上帝,其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來,按照整數比例演奏出的音樂,就相當受到歡迎,更重要的是,在人類理解科學的演進過程中,整數也扮演著相關關鍵的角色,像是法國化學家拉瓦節(Antoine Lavoisier)就是依照整數比調配組成化合物的元素,顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年,激態原子放射出一定整數比的光譜波長,也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量,顯示原子核是由整數個數的相似核子(質子跟中子)所組成,與整數比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體,擁有幾乎一樣的化學特性,只在中子數的個數上有所差異)的發現。

純同位素(pure isotope)原子量無法完全以整數比呈現的微小差異,確認了愛因斯坦(Albert Einstein)著名方程式 E = mc2是成立的,也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯(Carl Friedrich Gauss)的說法:「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速,但是,我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學,但是,我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明,可是,他們的論證方式非常冗長又複雜,就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯(Thomas Hales)將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》(Annals of Mathematics)期刊後,整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯,建議該期刊加以發表,可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的!另一個例子來自數學家德福林(Keith Devlin),他在《紐約時報》(New York Times)刊出的文章中承認:「數學已經進展到一個相當抽象的程度,甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾,想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重,我們只好竭盡所能,盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行,不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡(Werner Heisenberg)擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時,波耳(Niels Bohr)顯得相對樂觀。西元1920年代,波耳在一封回給海森堡的信中提到:「我認為這是有可能的,但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因,是因為我們直觀能力有限,透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見,這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能,讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前,就先看到結果,也開啟了一項全新的數學研究領域,就連試算表這種簡單的電腦工具,也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉(Leonhard Euler)、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子,西元1990年代末由貝利(David Bailey)跟佛格森(Helaman Ferguson)兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊,如同克拉瑞克(Erica Klarreich)在《科學新知》(Science News)上的報導,只要電腦能把公式先找出來,事後完成證明的工作就簡單多了,畢竟在完成數學證明的過程中,簡單地知道答案這項工作,通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象,譬如以物理學家麥斯威爾(James Clerk Maxwell)命名的麥斯威爾方程式(Maxwell equation)預測了無線電波的存在;愛因斯坦場論方程式(fields equation)指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克(Paul Dirac)曾說過,今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論,事實上,狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質(antimatter)存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話:「就算再抽象的數學分支,也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡,讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略(Galileo Galilei)曾說過:「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒(Johannes Kepler)曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體,建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納(Eugene Wigner)對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻;像是E8這種大李群(large Lie Group)—請參照條目:探索特殊E8李群的旅程(西元2007年)—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年,瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克(Max Tegmark)發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章,指出我們看到的物理實體其實都是數學結構;也就是說,我們不只可以用數學描述所處的宇宙,甚至可以說—宇宙本身就是數學。

導讀
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目,作者按照年代編寫,試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時,作者在各個條目之後,納入相關的參照條目(都本書所包含),方便讀者交叉閱讀與參引。還有,凡是條目涉及數學家等等之貢獻者,都清楚表彰姓名於條目之下,冀收見賢思齊之效!

就條目的規劃來說,除了純數學、(傳統)應用數學領域與計算機科學之外,本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題,以及一般讀者深感興趣的悖論。當然,從人類文化關懷的角度切入,作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中,所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮,譬如他對中國與日本算學發展的說明,就顯得心有餘而力不足,但是,他的用心還是值得肯定。另一方面,作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅,則充分反映二十世紀數學的飛耀發展,也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說,由於作者並非數學本科畢業,以致於他在描述近現代的數學專業知識時,手法難免比較生澀,而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下,有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解,或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗,於是,他在某些脈絡中,依賴少數幾位科普作家的觀點或評論,應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用,我要特別針對中學數學教師與學生,提出一些建議。對教師來說,本書條目有益於教學的內容,可以粗略分為兩大類:(1) 生活經驗中的趣味數學;(2) 歷史文化(含人類學面向)中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心,後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂,並藉以分享數學知識活動的趣味時,則不妨將它們包裝成為一個遊戲,讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說,本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉,十分簡單,人人都可以參與討論,但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面,教師也可利用本書條目,來組織一個教學單元,比如說初等代數發展的輪廓,讓學生在不斷演練求解方程式之餘,也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題,我推薦的條目有如下列:〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾.花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富,足以說明西方代數發展之大概,以及三、四次方程解法之意義。當然,如能補上十三世紀中國的天元術,乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路,那麼,我們對於代數思維的演化,就可以掌握全面的結構了。

總之,這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學,不過,他顯然非常聰明幹練,而且求知若渴,因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外,由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗(以每年出版一版書為準),因此,本書敘事多於論證,既凸顯了它的文類(科普)定位,也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」,我們就不必過度在意了。. 預備知識:線性代數, 矩陣運算。 參考書籍:“作業研究”, 清華大學作業研究教材編寫組 編著, 儒林圖書公司。 課程內容綱要:作業研究(Operations Research)是一種對各 . University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1.

ĸ» 題 數與計算 量與實測 幾何 代數 統計與機率 相關分年細目(97) 7-a-01能熟練符號的意義,及其代數運算。 7-a-06能. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 與 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。. Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets – 第一本關於wxWidgets的書籍。 Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets pdf – 電子書版本. English Language; Chinese Language; Mathematics; Liberal Studies; Introduction to Knowledge (non-examination, school. 作者序
數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域,並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況,也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車,模擬地球天然資源流轉的方式,進入次原子的量子世界探索,甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中,我希望運用少量數學公式提供一點數學品味,而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言,這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元,根據美國教育部實際調查的結果顯示,能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系,都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船,探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學(topology,探索形狀與彼此間相互關係的一門學問)或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際,我們就能逃出,在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子,就以這本書裡面的莫比烏斯帶(The Mobius Strip)為例。德國數學家莫比烏斯(August Mobius)和當時另一位德國數學家利斯廷(Johann Benedict Listing)同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶(一個只有單面,神奇的扭曲物體)。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓(Isaac Newton)與德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人,在相同時間,獨立發現同一件事情的情況?其他例子還包括英國博物學家達爾文(Charles Darwin)和華萊士(Alfred Wallace)都在相同時間各別提出演化論的觀點,匈牙利數學家鮑耶(Janos Bolyai)和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由,是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現,已經累積足夠的知識,這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來;可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋,會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納(Paul Kammerer)曾表示:「或許我們可以說,儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生,但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」;卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端,彼此間看起來各自孤立,毫無瓜葛,不過根據他充滿爭議性的理論,我們其實只看到上層的波浪,卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制,詭譎地把世上各種重大事件串在一起,才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉(Georges Ifrah)在《數目溯源》(The Universal History of Numbers)一書中談論馬雅數學時,順便論及了這種同步情況:

我們因此又再一次地見證到,散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋;是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響,⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合:智人這種生物的智力具有共通性,把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代,會不會只有數目字才是唯一恆常不變的?對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言,數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴,卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關,聰穎的數學家艾狄胥(Paul Erdos)醉心於數論—有關於整數課題—的研究,他經常能輕易使用整數提出問題,儘管問題的陳述很簡單,但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話,那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之,譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦,以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克(Leopold Kronecker)曾經說過:「只有整數來自於上帝,其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來,按照整數比例演奏出的音樂,就相當受到歡迎,更重要的是,在人類理解科學的演進過程中,整數也扮演著相關關鍵的角色,像是法國化學家拉瓦節(Antoine Lavoisier)就是依照整數比調配組成化合物的元素,顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年,激態原子放射出一定整數比的光譜波長,也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量,顯示原子核是由整數個數的相似核子(質子跟中子)所組成,與整數比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體,擁有幾乎一樣的化學特性,只在中子數的個數上有所差異)的發現。

純同位素(pure isotope)原子量無法完全以整數比呈現的微小差異,確認了愛因斯坦(Albert Einstein)著名方程式 E = mc2是成立的,也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯(Carl Friedrich Gauss)的說法:「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速,但是,我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學,但是,我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明,可是,他們的論證方式非常冗長又複雜,就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯(Thomas Hales)將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》(Annals of Mathematics)期刊後,整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯,建議該期刊加以發表,可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的!另一個例子來自數學家德福林(Keith Devlin),他在《紐約時報》(New York Times)刊出的文章中承認:「數學已經進展到一個相當抽象的程度,甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾,想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重,我們只好竭盡所能,盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行,不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡(Werner Heisenberg)擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時,波耳(Niels Bohr)顯得相對樂觀。西元1920年代,波耳在一封回給海森堡的信中提到:「我認為這是有可能的,但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因,是因為我們直觀能力有限,透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見,這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能,讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前,就先看到結果,也開啟了一項全新的數學研究領域,就連試算表這種簡單的電腦工具,也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉(Leonhard Euler)、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子,西元1990年代末由貝利(David Bailey)跟佛格森(Helaman Ferguson)兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊,如同克拉瑞克(Erica Klarreich)在《科學新知》(Science News)上的報導,只要電腦能把公式先找出來,事後完成證明的工作就簡單多了,畢竟在完成數學證明的過程中,簡單地知道答案這項工作,通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象,譬如以物理學家麥斯威爾(James Clerk Maxwell)命名的麥斯威爾方程式(Maxwell equation)預測了無線電波的存在;愛因斯坦場論方程式(fields equation)指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克(Paul Dirac)曾說過,今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論,事實上,狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質(antimatter)存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話:「就算再抽象的數學分支,也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡,讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略(Galileo Galilei)曾說過:「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒(Johannes Kepler)曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體,建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納(Eugene Wigner)對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻;像是E8這種大李群(large Lie Group)—請參照條目:探索特殊E8李群的旅程(西元2007年)—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年,瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克(Max Tegmark)發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章,指出我們看到的物理實體其實都是數學結構;也就是說,我們不只可以用數學描述所處的宇宙,甚至可以說—宇宙本身就是數學。

導讀
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目,作者按照年代編寫,試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時,作者在各個條目之後,納入相關的參照條目(都本書所包含),方便讀者交叉閱讀與參引。還有,凡是條目涉及數學家等等之貢獻者,都清楚表彰姓名於條目之下,冀收見賢思齊之效!

就條目的規劃來說,除了純數學、(傳統)應用數學領域與計算機科學之外,本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題,以及一般讀者深感興趣的悖論。當然,從人類文化關懷的角度切入,作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中,所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮,譬如他對中國與日本算學發展的說明,就顯得心有餘而力不足,但是,他的用心還是值得肯定。另一方面,作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅,則充分反映二十世紀數學的飛耀發展,也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說,由於作者並非數學本科畢業,以致於他在描述近現代的數學專業知識時,手法難免比較生澀,而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下,有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解,或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗,於是,他在某些脈絡中,依賴少數幾位科普作家的觀點或評論,應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用,我要特別針對中學數學教師與學生,提出一些建議。對教師來說,本書條目有益於教學的內容,可以粗略分為兩大類:(1) 生活經驗中的趣味數學;(2) 歷史文化(含人類學面向)中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心,後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂,並藉以分享數學知識活動的趣味時,則不妨將它們包裝成為一個遊戲,讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說,本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉,十分簡單,人人都可以參與討論,但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面,教師也可利用本書條目,來組織一個教學單元,比如說初等代數發展的輪廓,讓學生在不斷演練求解方程式之餘,也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題,我推薦的條目有如下列:〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾.花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富,足以說明西方代數發展之大概,以及三、四次方程解法之意義。當然,如能補上十三世紀中國的天元術,乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路,那麼,我們對於代數思維的演化,就可以掌握全面的結構了。

總之,這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學,不過,他顯然非常聰明幹練,而且求知若渴,因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外,由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗(以每年出版一版書為準),因此,本書敘事多於論證,既凸顯了它的文類(科普)定位,也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」,我們就不必過度在意了。.

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MOS Excel 2003 觀念題練習 MOS Excel 2003 觀念題練習. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!. 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式,. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. More MOS Excel 2003 模擬題練習. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 .

University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數.   簡介:
  作者自師範大學畢業後,對運用現代科技來學習數學之道,即深感興趣,至今樂此不疲,尤其對於動態幾何軟體的研究,更是深愛不已。早年校園裡面,只要是提到動態幾何軟體,無非是 Geometer’s Sketchpad,不然就是 Cabri,但這些軟體所費不貲,對經費有限的校園來說,卻是一種奢侈。所幸,適時出現了 GeoGebra 這套免費的自由軟體,因此作者當然義不容辭,主動參與中文化的工作,並獲得許多同好的協助,現在讀者們所看到的中文繁體介面,就是大家努力的成果。希望透過本書的推廣,可以將這套優秀的自由軟體散播到全國每個小角落,讓全國每位老師都能善用它,並利用它來教導學生,讓學生們可以自然而然地學好「數學」這種科學語言。. 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 . 设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2. More MOS Excel 2003 模擬題練習. 學校別: 課號: 英文課程名稱: 中文課程名稱: 翻譯進度: 耶魯: ASTR 160: Frontiers and Controversies in Astrophysics, Spring 2007: 天文物理的. (2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. MOS Excel 2003 觀念題練習 MOS Excel 2003 觀念題練習. 其中 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根). Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2. 有看到這個衛署健保字第84046762 號函:「勞工之加班費可不計入全民健保投保金額,基於公平原則,其適用對象,不宜排除投保金額低於 36,300 元者,另依全民健保法施行細則第四十二條規定,第一類及第二類被保險人具勞保資格者,其申報之投保金額仍不得低於其勞保之投保薪資。至其實施日期得追溯至 84年 3 月 1 日」。可是有一段不太懂,就是『不宜排除投保金額低於 36,300 元者』,那是什麼意思,我想要再問,如果一個人他底薪是17280,可是他加班費20000,那健保可以只投17280嗎. 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式,. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. 課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路.

課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. Ɛžç¬‘ – 抄作業在不同角度的看法 抄作業其實並不叫做抄作業 英文上叫copy 代數上叫等量交換 中文上叫借鑑 幾何上叫全等. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. 預備知識:線性代數, 矩陣運算。 參考書籍:“作業研究”, 清華大學作業研究教材編寫組 編著, 儒林圖書公司。 課程內容綱要:作業研究(Operations Research)是一種對各 . Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. 若您具有法人身份為常態性且大量購書者,或有特殊作業需求,建議您可洽詢「企業採購 」。�

退換貨說明�

會員所購買的商品均享有到貨十天的猶豫期(含例假日)。退回之商品必須於猶豫期內寄回。�

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數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域,並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況,也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車,模擬地球天然資源流轉的方式,進入次原子的量子世界探索,甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中,我希望運用少量數學公式提供一點數學品味,而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言,這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元,根據美國教育部實際調查的結果顯示,能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系,都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船,探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學(topology,探索形狀與彼此間相互關係的一門學問)或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際,我們就能逃出,在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子,就以這本書裡面的莫比烏斯帶(The Mobius Strip)為例。德國數學家莫比烏斯(August Mobius)和當時另一位德國數學家利斯廷(Johann Benedict Listing)同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶(一個只有單面,神奇的扭曲物體)。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓(Isaac Newton)與德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人,在相同時間,獨立發現同一件事情的情況?其他例子還包括英國博物學家達爾文(Charles Darwin)和華萊士(Alfred Wallace)都在相同時間各別提出演化論的觀點,匈牙利數學家鮑耶(Janos Bolyai)和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由,是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現,已經累積足夠的知識,這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來;可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋,會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納(Paul Kammerer)曾表示:「或許我們可以說,儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生,但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」;卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端,彼此間看起來各自孤立,毫無瓜葛,不過根據他充滿爭議性的理論,我們其實只看到上層的波浪,卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制,詭譎地把世上各種重大事件串在一起,才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉(Georges Ifrah)在《數目溯源》(The Universal History of Numbers)一書中談論馬雅數學時,順便論及了這種同步情況:

我們因此又再一次地見證到,散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋;是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響,⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合:智人這種生物的智力具有共通性,把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代,會不會只有數目字才是唯一恆常不變的?對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言,數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴,卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關,聰穎的數學家艾狄胥(Paul Erdos)醉心於數論—有關於整數課題—的研究,他經常能輕易使用整數提出問題,儘管問題的陳述很簡單,但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話,那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之,譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦,以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克(Leopold Kronecker)曾經說過:「只有整數來自於上帝,其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來,按照整數比例演奏出的音樂,就相當受到歡迎,更重要的是,在人類理解科學的演進過程中,整數也扮演著相關關鍵的角色,像是法國化學家拉瓦節(Antoine Lavoisier)就是依照整數比調配組成化合物的元素,顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年,激態原子放射出一定整數比的光譜波長,也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量,顯示原子核是由整數個數的相似核子(質子跟中子)所組成,與整數比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體,擁有幾乎一樣的化學特性,只在中子數的個數上有所差異)的發現。

純同位素(pure isotope)原子量無法完全以整數比呈現的微小差異,確認了愛因斯坦(Albert Einstein)著名方程式 E = mc2是成立的,也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯(Carl Friedrich Gauss)的說法:「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速,但是,我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學,但是,我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明,可是,他們的論證方式非常冗長又複雜,就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯(Thomas Hales)將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》(Annals of Mathematics)期刊後,整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯,建議該期刊加以發表,可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的!另一個例子來自數學家德福林(Keith Devlin),他在《紐約時報》(New York Times)刊出的文章中承認:「數學已經進展到一個相當抽象的程度,甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾,想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重,我們只好竭盡所能,盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行,不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡(Werner Heisenberg)擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時,波耳(Niels Bohr)顯得相對樂觀。西元1920年代,波耳在一封回給海森堡的信中提到:「我認為這是有可能的,但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因,是因為我們直觀能力有限,透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見,這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能,讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前,就先看到結果,也開啟了一項全新的數學研究領域,就連試算表這種簡單的電腦工具,也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉(Leonhard Euler)、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子,西元1990年代末由貝利(David Bailey)跟佛格森(Helaman Ferguson)兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊,如同克拉瑞克(Erica Klarreich)在《科學新知》(Science News)上的報導,只要電腦能把公式先找出來,事後完成證明的工作就簡單多了,畢竟在完成數學證明的過程中,簡單地知道答案這項工作,通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象,譬如以物理學家麥斯威爾(James Clerk Maxwell)命名的麥斯威爾方程式(Maxwell equation)預測了無線電波的存在;愛因斯坦場論方程式(fields equation)指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克(Paul Dirac)曾說過,今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論,事實上,狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質(antimatter)存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話:「就算再抽象的數學分支,也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡,讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略(Galileo Galilei)曾說過:「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒(Johannes Kepler)曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體,建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納(Eugene Wigner)對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻;像是E8這種大李群(large Lie Group)—請參照條目:探索特殊E8李群的旅程(西元2007年)—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年,瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克(Max Tegmark)發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章,指出我們看到的物理實體其實都是數學結構;也就是說,我們不只可以用數學描述所處的宇宙,甚至可以說—宇宙本身就是數學。

導讀
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目,作者按照年代編寫,試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時,作者在各個條目之後,納入相關的參照條目(都本書所包含),方便讀者交叉閱讀與參引。還有,凡是條目涉及數學家等等之貢獻者,都清楚表彰姓名於條目之下,冀收見賢思齊之效!

就條目的規劃來說,除了純數學、(傳統)應用數學領域與計算機科學之外,本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題,以及一般讀者深感興趣的悖論。當然,從人類文化關懷的角度切入,作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中,所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮,譬如他對中國與日本算學發展的說明,就顯得心有餘而力不足,但是,他的用心還是值得肯定。另一方面,作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅,則充分反映二十世紀數學的飛耀發展,也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說,由於作者並非數學本科畢業,以致於他在描述近現代的數學專業知識時,手法難免比較生澀,而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下,有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解,或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗,於是,他在某些脈絡中,依賴少數幾位科普作家的觀點或評論,應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用,我要特別針對中學數學教師與學生,提出一些建議。對教師來說,本書條目有益於教學的內容,可以粗略分為兩大類:(1) 生活經驗中的趣味數學;(2) 歷史文化(含人類學面向)中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心,後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂,並藉以分享數學知識活動的趣味時,則不妨將它們包裝成為一個遊戲,讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說,本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉,十分簡單,人人都可以參與討論,但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面,教師也可利用本書條目,來組織一個教學單元,比如說初等代數發展的輪廓,讓學生在不斷演練求解方程式之餘,也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題,我推薦的條目有如下列:〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾.花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富,足以說明西方代數發展之大概,以及三、四次方程解法之意義。當然,如能補上十三世紀中國的天元術,乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路,那麼,我們對於代數思維的演化,就可以掌握全面的結構了。

總之,這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學,不過,他顯然非常聰明幹練,而且求知若渴,因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外,由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗(以每年出版一版書為準),因此,本書敘事多於論證,既凸顯了它的文類(科普)定位,也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」,我們就不必過度在意了。. 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 . Array數學之書,The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension- 250 Milestones in the History of Mathematics,作者:柯利弗德.皮寇弗,出版社:時報文化. 有看到這個衛署健保字第84046762 號函:「勞工之加班費可不計入全民健保投保金額,基於公平原則,其適用對象,不宜排除投保金額低於 36,300 元者,另依全民健保法施行細則第四十二條規定,第一類及第二類被保險人具勞保資格者,其申報之投保金額仍不得低於其勞保之投保薪資。至其實施日期得追溯至 84年 3 月 1 日」。可是有一段不太懂,就是『不宜排除投保金額低於 36,300 元者』,那是什麼意思,我想要再問,如果一個人他底薪是17280,可是他加班費20000,那健保可以只投17280嗎. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!.

(2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. Sign in to add this video to a playlist. 6/18/2015 · Вбудоване відео · Want to watch this again later. 本頁面最後修訂於2009年1月1日 (週四) 13:29。 本站的全部文字在創用cc 姓名標示-相同方式分享 3. 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . More MOS Excel 2003 模擬題練習. 其中 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根). 7/9/2012 · 北一數學暑假作業,2010/8/13 · 話說北一的暑假作業 真的. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. ů’暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. Array數學之書,The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension- 250 Milestones in the History of Mathematics,作者:柯利弗德.皮寇弗,出版社:時報文化.

更多信息 代數作業:

设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2. English Language; Chinese Language; Mathematics; Liberal Studies; Introduction to Knowledge (non-examination, school. 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 與 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。. 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. Ņ¸åž‹å½¢å¼ LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作.   簡介:
  作者自師範大學畢業後,對運用現代科技來學習數學之道,即深感興趣,至今樂此不疲,尤其對於動態幾何軟體的研究,更是深愛不已。早年校園裡面,只要是提到動態幾何軟體,無非是 Geometer’s Sketchpad,不然就是 Cabri,但這些軟體所費不貲,對經費有限的校園來說,卻是一種奢侈。所幸,適時出現了 GeoGebra 這套免費的自由軟體,因此作者當然義不容辭,主動參與中文化的工作,並獲得許多同好的協助,現在讀者們所看到的中文繁體介面,就是大家努力的成果。希望透過本書的推廣,可以將這套優秀的自由軟體散播到全國每個小角落,讓全國每位老師都能善用它,並利用它來教導學生,讓學生們可以自然而然地學好「數學」這種科學語言。.

其中 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根). 若您具有法人身份為常態性且大量購書者,或有特殊作業需求,建議您可洽詢「企業採購 」。�

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會員所購買的商品均享有到貨十天的猶豫期(含例假日)。退回之商品必須於猶豫期內寄回。�

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訂購本商品前請務必詳閱商品退換貨原則。 . Ȫ²ç¨‹å¤§ç¶±èˆ‡è¦åŠƒ: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. 7/9/2012 · 北一數學暑假作業,2010/8/13 · 話說北一的暑假作業 真的. ĸ» 題 數與計算 量與實測 幾何 代數 統計與機率 相關分年細目(97) 7-a-01能熟練符號的意義,及其代數運算。 7-a-06能. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . 设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2.

其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 與 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。. Array數學之書,The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension- 250 Milestones in the History of Mathematics,作者:柯利弗德.皮寇弗,出版社:時報文化. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. 課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. 其中 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根). University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. Ņ¸åž‹å½¢å¼ LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數.

課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. (2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . 7/9/2012 · 北一數學暑假作業,2010/8/13 · 話說北一的暑假作業 真的. English Language; Chinese Language; Mathematics; Liberal Studies; Introduction to Knowledge (non-examination, school. Ņ¸åž‹å½¢å¼ LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 有看到這個衛署健保字第84046762 號函:「勞工之加班費可不計入全民健保投保金額,基於公平原則,其適用對象,不宜排除投保金額低於 36,300 元者,另依全民健保法施行細則第四十二條規定,第一類及第二類被保險人具勞保資格者,其申報之投保金額仍不得低於其勞保之投保薪資。至其實施日期得追溯至 84年 3 月 1 日」。可是有一段不太懂,就是『不宜排除投保金額低於 36,300 元者』,那是什麼意思,我想要再問,如果一個人他底薪是17280,可是他加班費20000,那健保可以只投17280嗎. Ɛžç¬‘ – 抄作業在不同角度的看法 抄作業其實並不叫做抄作業 英文上叫copy 代數上叫等量交換 中文上叫借鑑 幾何上叫全等. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!.

设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2

Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2. 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. 设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2. Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets – 第一本關於wxWidgets的書籍。 Cross-Platform GUI Programming with wxWidgets pdf – 電子書版本. 本次推薦閱讀書籍 (1) 吐嘈學數學 ── 16堂課讓你擁有數學腦!. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 與 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。.

Ņ¸åž‹å½¢å¼ LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. University’s Graduate school of Journalism)碩士,並曾在2013學年度擔任9年級學生的代數. 找出下列子空间的一组基,并求出它们的维数。 (1) {(a − b, b + c, a, b + c) | a, b, c ∈ R} ⊆ V = R4;. 设u, v和w为向量空间V 中的向量。 (1)证明:span{u, v, w} = span{u + v, u + w, v + w}。 (2)证明:span{u, v, w} = span{u − v, u + w, w}。 2. More MOS Excel 2003 模擬題練習. ů’暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數. Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2.

課程代碼: 課程名稱: 學分: 課程大綱: et3101: 數位電子學: 3 : et3102: 類比電子學: 3 : et3107: 數位邏輯: 3: 同步與非同步循序電路. ĸ» 題 數與計算 量與實測 幾何 代數 統計與機率 相關分年細目(97) 7-a-01能熟練符號的意義,及其代數運算。 7-a-06能. 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 . 抽象代數導論 (Introduction to Abstract Algebra) 2. More MOS Excel 2003 模擬題練習.

6/18/2015 · Вбудоване відео · Want to watch this again later. English Language; Chinese Language; Mathematics; Liberal Studies; Introduction to Knowledge (non-examination, school. 7/9/2012 · 北一數學暑假作業,2010/8/13 · 話說北一的暑假作業 真的. 寒暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數 分析 離散數學 科展製作. 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. 學校別: 課號: 英文課程名稱: 中文課程名稱: 翻譯進度: 耶魯: ASTR 160: Frontiers and Controversies in Astrophysics, Spring 2007: 天文物理的. (2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . Ņ¸åž‹å½¢å¼ LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. Ɗ½è±¡ä»£æ•¸å°Žè«– (Introduction to Abstract Algebra) 2.

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行列式的性质; 二阶、三阶行列式的运算; 高阶行列式运算; 线性方程组求解 ; 矩阵的运算; 逆矩阵; 矩阵的初等变换; 矩阵的秩; 矩阵的分块 . Ɛžç¬‘ – 抄作業在不同角度的看法 抄作業其實並不叫做抄作業 英文上叫copy 代數上叫等量交換 中文上叫借鑑 幾何上叫全等. (2) {X ∈ R4 | AX = 0} ⊆ V = R4, . 典型形式 LU 分解 QR 分解 Schur 定理 SVD Vandermonde 矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數. 課程大綱與規劃: 先修課程: 微積分、工程數學(一)~(三) 大綱 1. 抽象代數導論 (Introduction to Abstract Algebra) 2. 資訊工程類, 大一, 離散數學、數位邏輯設計、計算機概論、程式設計(一)、程式設計( 二)、程式設計(一)、程式設計(二), 線性代數、離散數學、資料結構、演算法、作業 . 作者序
數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域,並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況,也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車,模擬地球天然資源流轉的方式,進入次原子的量子世界探索,甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中,我希望運用少量數學公式提供一點數學品味,而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言,這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元,根據美國教育部實際調查的結果顯示,能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系,都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船,探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學(topology,探索形狀與彼此間相互關係的一門學問)或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際,我們就能逃出,在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子,就以這本書裡面的莫比烏斯帶(The Mobius Strip)為例。德國數學家莫比烏斯(August Mobius)和當時另一位德國數學家利斯廷(Johann Benedict Listing)同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶(一個只有單面,神奇的扭曲物體)。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓(Isaac Newton)與德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人,在相同時間,獨立發現同一件事情的情況?其他例子還包括英國博物學家達爾文(Charles Darwin)和華萊士(Alfred Wallace)都在相同時間各別提出演化論的觀點,匈牙利數學家鮑耶(Janos Bolyai)和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由,是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現,已經累積足夠的知識,這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來;可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋,會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納(Paul Kammerer)曾表示:「或許我們可以說,儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生,但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」;卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端,彼此間看起來各自孤立,毫無瓜葛,不過根據他充滿爭議性的理論,我們其實只看到上層的波浪,卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制,詭譎地把世上各種重大事件串在一起,才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉(Georges Ifrah)在《數目溯源》(The Universal History of Numbers)一書中談論馬雅數學時,順便論及了這種同步情況:

我們因此又再一次地見證到,散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋;是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響,⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合:智人這種生物的智力具有共通性,把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代,會不會只有數目字才是唯一恆常不變的?對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言,數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴,卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關,聰穎的數學家艾狄胥(Paul Erdos)醉心於數論—有關於整數課題—的研究,他經常能輕易使用整數提出問題,儘管問題的陳述很簡單,但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話,那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之,譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦,以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克(Leopold Kronecker)曾經說過:「只有整數來自於上帝,其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來,按照整數比例演奏出的音樂,就相當受到歡迎,更重要的是,在人類理解科學的演進過程中,整數也扮演著相關關鍵的角色,像是法國化學家拉瓦節(Antoine Lavoisier)就是依照整數比調配組成化合物的元素,顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年,激態原子放射出一定整數比的光譜波長,也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量,顯示原子核是由整數個數的相似核子(質子跟中子)所組成,與整數比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體,擁有幾乎一樣的化學特性,只在中子數的個數上有所差異)的發現。

純同位素(pure isotope)原子量無法完全以整數比呈現的微小差異,確認了愛因斯坦(Albert Einstein)著名方程式 E = mc2是成立的,也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯(Carl Friedrich Gauss)的說法:「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速,但是,我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學,但是,我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明,可是,他們的論證方式非常冗長又複雜,就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯(Thomas Hales)將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》(Annals of Mathematics)期刊後,整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯,建議該期刊加以發表,可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的!另一個例子來自數學家德福林(Keith Devlin),他在《紐約時報》(New York Times)刊出的文章中承認:「數學已經進展到一個相當抽象的程度,甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾,想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重,我們只好竭盡所能,盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行,不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡(Werner Heisenberg)擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時,波耳(Niels Bohr)顯得相對樂觀。西元1920年代,波耳在一封回給海森堡的信中提到:「我認為這是有可能的,但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因,是因為我們直觀能力有限,透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見,這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能,讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前,就先看到結果,也開啟了一項全新的數學研究領域,就連試算表這種簡單的電腦工具,也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉(Leonhard Euler)、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子,西元1990年代末由貝利(David Bailey)跟佛格森(Helaman Ferguson)兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊,如同克拉瑞克(Erica Klarreich)在《科學新知》(Science News)上的報導,只要電腦能把公式先找出來,事後完成證明的工作就簡單多了,畢竟在完成數學證明的過程中,簡單地知道答案這項工作,通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象,譬如以物理學家麥斯威爾(James Clerk Maxwell)命名的麥斯威爾方程式(Maxwell equation)預測了無線電波的存在;愛因斯坦場論方程式(fields equation)指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克(Paul Dirac)曾說過,今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論,事實上,狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質(antimatter)存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話:「就算再抽象的數學分支,也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡,讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略(Galileo Galilei)曾說過:「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒(Johannes Kepler)曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體,建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納(Eugene Wigner)對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻;像是E8這種大李群(large Lie Group)—請參照條目:探索特殊E8李群的旅程(西元2007年)—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年,瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克(Max Tegmark)發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章,指出我們看到的物理實體其實都是數學結構;也就是說,我們不只可以用數學描述所處的宇宙,甚至可以說—宇宙本身就是數學。

導讀
洪萬生
台灣師範大學數學系退休教授

這是一本類似百科全書的數學普及讀物。全書共有250個數學發展之里程碑條目,作者按照年代編寫,試圖勾勒人類數學發展的整體風貌。同時,作者在各個條目之後,納入相關的參照條目(都本書所包含),方便讀者交叉閱讀與參引。還有,凡是條目涉及數學家等等之貢獻者,都清楚表彰姓名於條目之下,冀收見賢思齊之效!

就條目的規劃來說,除了純數學、(傳統)應用數學領域與計算機科學之外,本書還納入具有意義深長的生物數學、遊戲背景的謎題,以及一般讀者深感興趣的悖論。當然,從人類文化關懷的角度切入,作者也非常努力全面關照各個種族在歷史長河中,所曾經創造或參與的數學知識活動。儘管力有未逮,譬如他對中國與日本算學發展的說明,就顯得心有餘而力不足,但是,他的用心還是值得肯定。另一方面,作者為1900年之後的數學保留了近半的篇幅,則充分反映二十世紀數學的飛耀發展,也見證了計算機如何介入數學研究的各個層面。

就書寫的敘事來說,由於作者並非數學本科畢業,以致於他在描述近現代的數學專業知識時,手法難免比較生澀,而這一「不足」在數學史脈絡的適當烘托下,有時候反倒顯得樸拙可以親近。至於作者對於數學與數學史之理解,或許主要得自於他自身的博雅閱讀經驗,於是,他在某些脈絡中,依賴少數幾位科普作家的觀點或評論,應該也是情有可原。

有關本書之閱讀與參考使用,我要特別針對中學數學教師與學生,提出一些建議。對教師來說,本書條目有益於教學的內容,可以粗略分為兩大類:(1) 生活經驗中的趣味數學;(2) 歷史文化(含人類學面向)中的數學。前者主要源自人類的熱愛遊戲謎題的好奇心,後者則是基於數學的美感與效用之雙重動機。當教師有意將本書某些素材引進課堂,並藉以分享數學知識活動的趣味時,則不妨將它們包裝成為一個遊戲,讓抗拒學習的學生無法自外於此一活動。譬如說,本書1702年條目〈繞地求一圈的彩帶〉,十分簡單,人人都可以參與討論,但結果卻是大大地令人感到不可思議的謎題。

另一方面,教師也可利用本書條目,來組織一個教學單元,比如說初等代數發展的輪廓,讓學生在不斷演練求解方程式之餘,也能多少領會代數認知與方法演化的趣味與意義。針對此一主題,我推薦的條目有如下列:〈萊因德紙草文件〉、〈戴奧芬特斯的《數論》〉、〈數字0〉、〈阿爾.花拉子密的《代數》〉、〈摩訶吠羅的算術書〉、〈印度數學璀璨的章節〉、〈奧瑪、海亞姆的《代數問題的論著》〉、〈阿爾、薩馬瓦爾的《耀眼的代數》〉、〈費波那契的《計算書》〉、〈特維索算術〉、〈卡丹諾的《大術》〉、〈簡明摘要〉、〈虛數〉以及〈笛卡兒的《幾何學》〉等等。上述這些條目的內容已經相當豐富,足以說明西方代數發展之大概,以及三、四次方程解法之意義。當然,如能補上十三世紀中國的天元術,乃至於十七世紀日本的點竄術與旁書法這些東方代數進路,那麼,我們對於代數思維的演化,就可以掌握全面的結構了。

總之,這是一本非數學專家所寫的相當大部頭的數學普及讀物。作者的學術專長在於生物物理與生物化學,不過,他顯然非常聰明幹練,而且求知若渴,因而可以成功介入一些與數學有關的謎題之研究。此外,由於他擁有遠較於其他科學作家更加豐富的寫作經驗(以每年出版一版書為準),因此,本書敘事多於論證,既凸顯了它的文類(科普)定位,也見證了作者的通識素養。至於有關本書作者的有些史識的「一家之言」,我們就不必過度在意了。.

ů’暑假作業 101 年寒假 教授演講 教學心得 補充教材 幾何 代數. CLASSROOM Primary English Step-by-step Exercises 課室小學英文科同步綜合練習. 有看到這個衛署健保字第84046762 號函:「勞工之加班費可不計入全民健保投保金額,基於公平原則,其適用對象,不宜排除投保金額低於 36,300 元者,另依全民健保法施行細則第四十二條規定,第一類及第二類被保險人具勞保資格者,其申報之投保金額仍不得低於其勞保之投保薪資。至其實施日期得追溯至 84年 3 月 1 日」。可是有一段不太懂,就是『不宜排除投保金額低於 36,300 元者』,那是什麼意思,我想要再問,如果一個人他底薪是17280,可是他加班費20000,那健保可以只投17280嗎. 抽象代數導論 (Introduction to Abstract Algebra) 2. 歐幾里得空間 和 是具有內積運算的向量空間 (見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為內積空間。歐幾里得空間 的標準基底 由正交 (垂直) 的單位向量組成,即 且 。令 與 逆時針旋轉 徑度,所得的向量 與 是 的另一組基底。同樣地,基底 滿足 和 。我們稱 與 是歐幾里得空間 的單範正交基底[1] (orthonormal basis)。基底造出向量空間的結構,單範正交基底則造出內積空間的結構。若與非正交基底比較,單範正交基底的最大優勢在於具備清晰的幾何意義而且容易計算。通過討論一般內積空間的單範正交基底的等價條件可以幫助你了解這種特殊基底的應用價值。. 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 與 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。. Ɛžç¬‘ – 抄作業在不同角度的看法 抄作業其實並不叫做抄作業 英文上叫copy 代數上叫等量交換 中文上叫借鑑 幾何上叫全等.

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